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可視化微分幾何和形式:一部五幕數(shù)學(xué)正劇 版權(quán)信息
- ISBN：9787115611079
- 條形碼：9787115611079 ; 978-7-115-61107-9
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊(cè)數(shù)：暫無(wú)
- 重量：暫無(wú)
- 所屬分類：>
可視化微分幾何和形式:一部五幕數(shù)學(xué)正劇 本書特色
以五幕數(shù)學(xué)劇的形式直觀地講述微分幾何和微分形式，包括“空間的實(shí)質(zhì)”“度量”“曲率”“平行移動(dòng)”和“微分形式”。 挑戰(zhàn)性地重新思考了微分幾何和微分形式這個(gè)重要數(shù)學(xué)領(lǐng)域的教學(xué)方式，只需要基本的微積分和幾何學(xué)知識(shí)即可閱讀本書。
可視化微分幾何和形式:一部五幕數(shù)學(xué)正劇 內(nèi)容簡(jiǎn)介
本書以五幕數(shù)學(xué)劇的形式直觀地講述微分幾何和微分形式，包括“空間的實(shí)質(zhì)”“度量”“曲率”“平行移動(dòng)”和“微分形式”。在前四幕中，作者把“微分幾何”回歸為“幾何”，使用200多幅手繪示意圖，運(yùn)用牛頓的幾何方法對(duì)經(jīng)典結(jié)果做出了幾何解釋。在第五幕中，作者介紹了微分形式，以直觀的幾何方式處理高級(jí)主題。本書作者挑戰(zhàn)性地重新思考了微分幾何和微分形式這個(gè)重要數(shù)學(xué)領(lǐng)域的教學(xué)方式，只需要基本的微積分和幾何學(xué)知識(shí)即可閱讀本書。
可視化微分幾何和形式:一部五幕數(shù)學(xué)正劇 目錄
**幕 空間的本質(zhì)
第1章 歐幾里得幾何與非歐幾何 2
1.1 歐幾里得幾何與雙曲幾何 2
1.2 球面幾何 5
1.3 球面三角形的角盈 8
1.4 曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何與外在幾何 9
1.5 通過“直性”來(lái)構(gòu)作測(cè)地線 12
1.6 空間的本質(zhì) 15
第2章 高斯曲率 18
2.1 引言 18
2.2 圓的周長(zhǎng)和面積 20
2.3 局部高斯–博內(nèi)定理 24
第3章 序幕和**幕的習(xí)題 26
第二幕 度量
第4章 曲面映射：度量 34
4.1 引言 34
4.2 球面的投影地圖 36
4.3 一般曲面上的度量 38
4.4 度量曲率公式 41
4.5 共形地圖 43
4.6 講一點(diǎn)兒可視化的復(fù)分析 45
4.7 球面的共形球極地圖 49
4.8 球極平面投影公式 53
4.9 球極平面投影的保圓性 55
第5章 偽球面和雙曲平面 57
5.1 貝爾特拉米的洞察 57
5.2 曳物線和偽球面 58
5.3 偽球面的共形地圖 61
5.4 貝爾特拉米–龐加萊半平面 62
5.5 利用光學(xué)來(lái)求測(cè)地線 65
5.6 平行角 68
5.7 貝爾特拉米–龐加萊圓盤 71
第6章 等距變換和復(fù)數(shù) 74
6.1 引言 74
6.2 默比烏斯變換 76
6.3 主要結(jié)果 82
6.4 愛因斯坦的時(shí)空幾何學(xué) 84
6.5 三維雙曲幾何 90
第7章 第二幕的習(xí)題 96
第三幕 曲率
第8章 平面曲線的曲率 110
8.1 引言 110
8.2 曲率圓 112
8.3 牛頓的曲率公式 113
8.4 作為轉(zhuǎn)向率的曲率 115
8.5 例子：牛頓的曳物線 119
第9章 三維空間中的曲線 121
第10章 曲面的主曲率 124
10.1 歐拉的曲率公式 124
10.2 歐拉的曲率公式的證明 126
10.3 旋轉(zhuǎn)曲面 127
第11章 測(cè)地線和測(cè)地曲率 131
11.1 測(cè)地曲率和法曲率 131
11.2 默尼耶定理 133
11.3 測(cè)地線是“直的” 135
11.4 測(cè)地曲率的內(nèi)蘊(yùn)量度 136
11.5 量度測(cè)地曲率的一個(gè)簡(jiǎn)單的外在方法 136
11.6 用透明膠帶構(gòu)作測(cè)地線的一個(gè)新解釋 137
11.7 旋轉(zhuǎn)曲面上的測(cè)地線 138
11.7.1 球面上的克萊羅定理 138
11.7.2 開普勒第二定律 140
11.7.3 牛頓對(duì)開普勒第二定律的幾何證明 142
11.7.4 克萊羅定理的動(dòng)力學(xué)證明 144
11.7.5 應(yīng)用：再看雙曲平面上的測(cè)地線 146
第12章 曲面的外在曲率 149
12.1 引言 149
12.2 球面映射 149
12.3 曲面的外在曲率 151
12.4 哪些形狀是可能的？ 154
第13章 高斯的絕妙定理 159
13.1 引言 159
13.2 高斯的漂亮定理(1816年) 159
13.3 高斯的絕妙定理(1827年) 161
第14章 尖刺的曲率 165
14.1 引言 165
14.2 錐形尖刺的曲率 165
14.3 多面角的內(nèi)蘊(yùn)曲率與外在曲率 168
14.4 多面體的絕妙定理 170
第15章 形狀導(dǎo)數(shù) 172
15.1 方向?qū)?shù) 172
15.2 形狀導(dǎo)數(shù)S 175
15.3 S的幾何效應(yīng) 176
15.4 繞道線性代數(shù)：奇異值分解和轉(zhuǎn)置運(yùn)算的幾何學(xué) 177
15.5 S的一般矩陣 182
15.6 S的幾何解釋和[S]的化簡(jiǎn) 184
15.7 [S]由三個(gè)曲率完全確定 186
15.8 漸近方向 187
15.9 經(jīng)典術(shù)語(yǔ)和記號(hào)：三種基本形式 189
第16章 全局高斯博內(nèi)定理，引論 191
16.1 一些拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)與結(jié)果的陳述 191
16.2 球面和環(huán)面的曲率 194
16.2.1 球面的全曲率 194
16.2.2 環(huán)面的全曲率 196
16.3 看一看厚煎餅的K(Sg) 197
16.4 看一看面包圈和橋的K(Sg) 198
16.5 拓?fù)涠群颓蛎嬗成?200
16.6 歷史注釋 202
第17章 全局高斯博內(nèi)定理的**個(gè)證明(啟發(fā)性證明) 203
17.1 平面環(huán)路的全曲率：霍普夫旋轉(zhuǎn)定理 203
17.2 變形圓周的全曲率 206
17.3 霍普夫旋轉(zhuǎn)定理的啟發(fā)性證明 208
17.4 變形球面的全曲率 209
17.5 全局高斯–博內(nèi)定理的啟發(fā)性證明 210
第18章 全局高斯博內(nèi)定理的第二個(gè)證明(利用角盈) 213
18.1 歐拉示性數(shù) 213
18.2 歐拉的(經(jīng)驗(yàn)的)多面體公式 213
18.3 柯西對(duì)歐拉多面體公式的證明 216
18.3.1 攤平了的多面體 216
18.3.2 多邊形網(wǎng)的歐拉示性數(shù) 217
18.4 勒讓德對(duì)歐拉多面體公式的證明 219
18.5 對(duì)曲面增加柄以提高其虧格 222
18.6 全局高斯–博內(nèi)定理的角盈證明 225
第19章 全局高斯博內(nèi)定理的第三個(gè)證明(利用向量場(chǎng)) 227
19.1 引言 227
19.2 平面上的向量場(chǎng) 227
19.3 奇點(diǎn)的指數(shù) 228
19.4 原型奇點(diǎn)：復(fù)冪函數(shù) 231
19.5 曲面上的向量場(chǎng) 234
19.5.1 蜂蜜流向量場(chǎng) 234
19.5.2 蜂蜜流與地形圖的關(guān)系 236
19.5.3 怎樣在曲面上定義奇點(diǎn)指數(shù)？ 238
19.6 龐加萊–霍普夫定理 239
19.6.1 例子：拓?fù)淝蛎?239
19.6.2 龐加萊–霍普夫定理的證明 241
19.6.3 應(yīng)用：歐拉–呂以利埃公式的證明 243
19.6.4 龐加萊的微分方程與霍普夫的線場(chǎng)的比較 244
19.7 全局高斯–博內(nèi)定理的向量場(chǎng)證明 249
19.8 往前的路怎么走？ 253
第20章 第三幕的習(xí)題 255
第四幕 平行移動(dòng)
第21章 一個(gè)歷史謎團(tuán) 268
第22章 外在的構(gòu)作 270
22.1 一邊前進(jìn)，一邊向曲面投影 270
22.2 測(cè)地線和平行移動(dòng) 273
22.3 馬鈴薯削皮器的移動(dòng) 274
第23章 內(nèi)蘊(yùn)的構(gòu)作 278
23.1 沿測(cè)地線的平行移動(dòng) 278
23.2 內(nèi)蘊(yùn)(即“協(xié)變”)導(dǎo)數(shù) 279
第24章 和樂性 283
24.1 例子：球面 283
24.2 一般的測(cè)地線三角形的和樂性 285
24.3 和樂性是可加的 286
24.4 例子：雙曲平面 287
第25章 絕妙定理的一個(gè)直觀幾何證明 291
25.1 引言 291
25.2 關(guān)于記號(hào)和定義的一些說(shuō)明 292
25.3 至今所知的故事 293
25.4 球面映射保持平行移動(dòng)不變 294
25.5 再說(shuō)漂亮定理和絕妙定理 295
第26章 全局高斯博內(nèi)定理的第四個(gè)證明(利用和樂性) 297
26.1 引言 297
26.2 沿一條開曲線的和樂性？ 297
26.3 霍普夫?qū)θ指咚龚C博內(nèi)定理的內(nèi)蘊(yùn)證明 299
第27章 度量曲率公式的幾何證明 301
27.1 引言 301
27.2 向量場(chǎng)圍繞回路的環(huán)流量 303
27.3 排練：平面上的和樂性 304
27.4 和樂性作為地圖中由度量定義的向量場(chǎng)的環(huán)流量 306
27.5 度量曲率公式的幾何證明 309
第28章 曲率是相鄰測(cè)地線之間的作用力 310
28.1 雅可比方程簡(jiǎn)介 310
28.1.1 零曲率：平面 310
28.1.2 正曲率：球面 312
28.1.3 負(fù)曲率：偽球面 314
28.2 雅可比方程的兩個(gè)證明 315
28.2.1 測(cè)地極坐標(biāo) 315
28.2.2 相對(duì)加速度=速度的和樂性 318
28.3 小測(cè)地圓的周長(zhǎng)和面積 320
第29章 黎曼曲率 322
29.1 引言和概要 322
29.2 n 流形上的角盈 323
29.3 平行移動(dòng)：三種構(gòu)作方法 325
29.3.1 定角錐上的*近向量 325
29.3.2 在平行移動(dòng)平面內(nèi)的定角 326
29.3.3 希爾德的梯子 327
29.4 內(nèi)蘊(yùn)(又稱“協(xié)變”)導(dǎo)數(shù)rv 327
29.5 黎曼曲率張量 329
29.5.1 繞一個(gè)小“平行四邊形”的平行移動(dòng) 329
29.5.2 用向量換位子把這個(gè)“平行四邊形”封閉起來(lái) 331
29.5.3 黎曼曲率的一般公式 332
29.5.4 黎曼曲率是一個(gè)張量 334
29.5.5 黎曼張量的分量 336
29.5.6 對(duì)于固定的wo，向量的和樂性只依賴于回路所在的平面及其所圍面積 337
29.5.7 黎曼張量的對(duì)稱性 338
29.5.8 截面曲率 340
29.5.9 關(guān)于黎曼張量起源的歷史注記 341
29.6 n 維流形的雅可比方程 343
29.6.1 截面雅可比方程的幾何證明 343
29.6.2 截面雅可比方程的幾何意義 345
29.6.3 雅可比方程和截面雅可比方程的計(jì)算證明 346
29.7 里奇張量 347
29.7.1 由一束測(cè)地線包圍的面積的加速度 347
29.7.2 里奇張量的定義和幾何意義 349
29.8 終曲 351
第30章 愛因斯坦的彎曲時(shí)空 352
30.1 引言：“我一生中*快樂的想法” 352
30.2 引力的潮汐力 354
30.3 牛頓引力定律的幾何形式 358
30.4 時(shí)空的度量 360
30.5 時(shí)空的圖示 362
30.6 愛因斯坦的真空?qǐng)龇匠痰膸缀涡问?363
30.7 施瓦氏解和愛因斯坦理論的*初驗(yàn)證 366
30.8 引力波 371
30.9 愛因斯坦的(有物質(zhì)的)場(chǎng)方程的幾何形式 374
30.10 引力坍縮成為黑洞 377
30.11 宇宙學(xué)常數(shù)：“我一生中*嚴(yán)重的錯(cuò)誤” 381
30.12 結(jié)束語(yǔ) 383
第31章 第四幕的習(xí)題 384
第五幕 形式
第32章 1-形式 394
32.1 引言 394
32.2 1-形式的定義 395
32.3 1-形式的例子 397
32.3.1 引力做功的1-形式 397
32.3.2 引力做功1-形式的可視化 398
32.3.3 等高線圖和梯度1-形式 399
32.3.4 行向量 402
32.3.5 狄拉克符號(hào)(左矢) 402
32.4 基底1-形式 403
32.5 1-形式的分量 404
32.6 梯度df是1-形式 405
32.6.1 復(fù)習(xí)：梯度 f是一個(gè)向量 405
32.6.2 梯度df是一個(gè)1-形式 406
32.6.3 1-形式的笛卡兒基{dxj} 407
32.6.4 df =( xf)dx+( yf)dy的1-形式解釋 408
32.7 1-形式加法的幾何解釋 408
第33章 張量 411
33.1 張量的定義：階 411
33.2 例子：線性代數(shù) 412
33.3 從原有的張量做出新張量 412
33.3.1 加法 412
33.3.2 乘法：張量積 413
33.4 分量 413
33.5 度量張量與經(jīng)典線元的關(guān)系 414
33.6 例子：再看線性代數(shù) 415
33.7 縮并 416
33.8 用度量張量來(lái)改變張量的階 417
33.9 對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量 419
第34章 2-形式 421
34.1 2-形式和p-形式的定義 421
34.2 例子：面積2-形式 422
34.3 兩個(gè)1-形式的楔積 423
34.4 極坐標(biāo)下的面積2-形式 426
34.5 基底2-形式及投影 427
34.6 2-形式與R3中向量的聯(lián)系：流量 429
34.7 R3中向量積與楔積的關(guān)系 431
34.8 法拉第的電磁2-形式與麥克斯韋的電磁2-形式 433
第35章 3-形式 439
35.1 3-形式需要三個(gè)維度 439
35.2 一個(gè)2-形式與一個(gè)1-形式的楔積 439
35.3 體積3-形式 440
35.4 球極坐標(biāo)中的3-形式 441
35.5 三個(gè)1-形式的楔積，p個(gè)1-形式的楔積 442
35.6 基底3-形式 444
35.7 Ψ^Ψ≠0可能嗎？ 445
第36章 微分學(xué) 446
36.1 1-形式的外導(dǎo)數(shù) 446
36.2 2-形式和p-形式的外導(dǎo)數(shù) 448
36.3 形式的萊布尼茨法則 449
36.4 閉形式和恰當(dāng)形式 450
36.4.1 基本結(jié)果：d2=0 450
36.4.2 閉形式和恰當(dāng)形式 450
36.4.3 復(fù)分析：柯西–黎曼方程 451
36.5 用形式做向量運(yùn)算 452
36.6 麥克斯韋方程組 456
第37章 積分學(xué) 459
37.1 1-形式的線積分 459
37.1.1 環(huán)流和功 459
37.1.2 與路徑的無(wú)關(guān)性<=>閉合環(huán)路積分為零 460
37.1.3 恰當(dāng)形式φ=df的積分 461
37.2 外導(dǎo)數(shù)是一個(gè)積分 461
37.2.1 1-形式的外導(dǎo)數(shù) 461
37.2.2 2-形式的外導(dǎo)數(shù) 465
37.3 外微積分基本定理(廣義斯托克斯定理) 467
37.3.1 外微積分基本定理 467
37.3.2 相伴的歷史問題 467
37.3.3 例子：面積 468
37.4 邊界的邊界是零 468
37.5 向量微積分的經(jīng)典積分定理 469
37.5.1 Φ=0-形式 469
37.5.2 Φ=1-形式 470
37.5.3 Φ=2-形式 471
37.6 外微積分基本定理的證明 471
37.7 柯西定理 474
37.8 1-形式的龐加萊引理 474
37.9 德拉姆上同調(diào)初步 475
37.9.1 引言 475
37.9.2 一個(gè)特殊的二維渦旋向量場(chǎng) 476
37.9.3 渦旋1-形式是閉的 477
37.9.4 渦旋1-形式的幾何意義 477
37.9.5 閉1-形式的環(huán)流的拓?fù)浞(wěn)定性 478
37.9.6 **德拉姆上同調(diào)群 480
37.9.7 R3中的平方反比點(diǎn)源 482
37.9.8 第二德拉姆上同調(diào)群 483
37.9.9 環(huán)面的**德拉姆上同調(diào)群 485
第38章 用形式來(lái)講微分幾何 488
38.1 引言：嘉當(dāng)?shù)幕顒?dòng)標(biāo)架法 488
38.2 聯(lián)絡(luò)1-形式 490
38.2.1 關(guān)于符號(hào)的約定和兩個(gè)定義 490
38.2.2 聯(lián)絡(luò)1-形式 491
38.2.3 注意：以前習(xí)慣的記號(hào) 493
38.3 姿態(tài)矩陣 494
38.3.1 通過姿態(tài)矩陣來(lái)講連絡(luò)形式 494
38.3.2 例子：柱面標(biāo)架場(chǎng) 495
38.4 嘉當(dāng)?shù)膬蓚(gè)結(jié)構(gòu)方程 498
38.4.1 用ej的對(duì)偶dxj來(lái)表示mi的對(duì)偶θi 498
38.4.2 嘉當(dāng)**結(jié)構(gòu)方程 498
38.4.3 嘉當(dāng)?shù)诙Y(jié)構(gòu)方程 499
38.4.4 例子：球面標(biāo)架場(chǎng) 500
38.5 曲面的6個(gè)基本形式方程 505
38.5.1 使嘉當(dāng)?shù)幕顒?dòng)標(biāo)架適用于曲面：形狀導(dǎo)數(shù)與外在曲率 505
38.5.2 例子：球面 507
38.5.3 基底分解的唯一性 508
38.5.4 曲面的6個(gè)基本形式方程 509
38.6 對(duì)稱性方程和彼得松–梅納第–科達(dá)齊方程的幾何意義 510
38.7 高斯方程的幾何形式 511
38.8 度量曲率公式和絕妙定理的證明 512
38.8.1 引理：ω12的唯一性 512
38.8.2 度量曲率公式的證明 512
38.9 一個(gè)新的公式 514
38.10 希爾伯特引理 514
38.11 利布曼的剛性球面定理 515
38.12 n 流形的曲率2-形式 517
38.12.1 引言和概述 517
38.12.2 廣義外導(dǎo)數(shù) 519
38.12.3 由曲率2-形式導(dǎo)出黎曼張量 520
38.12.4 再論比安基恒等式 521
38.13 施瓦西黑洞的曲率 522
第39章 第五幕的習(xí)題 528
人名索引 541
術(shù)語(yǔ)索引 546
展開全部
可視化微分幾何和形式:一部五幕數(shù)學(xué)正劇 作者簡(jiǎn)介
特里斯坦·尼達(dá)姆(Tristan Needham) 舊金山大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，理學(xué)院副院長(zhǎng)。牛津大學(xué)博士，導(dǎo)師為Roger Penrose(與霍金齊名的英國(guó)物理學(xué)家)。1995年被美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)授予Carl B. Allendoerfer獎(jiǎng)，他的研究領(lǐng)域包括幾何、復(fù)分析、數(shù)學(xué)史、廣義相對(duì)論。
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