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偏微分方程的移動網格方法 版權信息
- ISBN：9787030742681
- 條形碼：9787030742681 ; 978-7-03-074268-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
偏微分方程的移動網格方法 內容簡介
自適應移動網格方法研究在過去二十多年里發展迅速。在很多實際問題中，由于解的奇異性質的存在，傳統的一致網格計算會極大地浪費計算機的資源，并使很多實際問題的求解變得不可能。相反地，通過自適應的方法來分布網格，可以大大地提高計算速度和效率。由舒其望教授和尉喜軍教授組織的自適應算法暑期班于2004年6月在中國科技大學舉行，我們自己編寫的移動網格方法的講義首次用于講學。后來根據這幾年對移動網格方法的一些研究成果，以及作者近年來的相關研究結果，整理成此書。本書側重自適應網格技術，在流體計算、相場界面問題、雙曲守恒律方程等問題上都有成功的應用。本書對于科學計算大學高年級學生和研究生，以及從事計算數學研究、科學工程問題的人員是極好的專業參考書，本書易讀性強，深入淺出，也可以提供代碼，讀者容易上手實踐。
偏微分方程的移動網格方法 目錄
目錄
《信息與計算科學叢書》序
前言
第1章 自適應方法 1
1.1 自適應方法綜述 4
1.2 移動網格方法的基本思想 6
1.3 h-方法的基本思想 11
1.3.1 自適應加密的必要性 11
1.3.2 后驗誤差估計 14
1.3.3 h-方法的應用 16
1.4 本書的計劃 18
第2章 等分布原理 20
2.1 等分布原理簡介 20
2.2 等分布原理的應用 23
2.3 等分布原理小結 31
第3章 移動網格偏微分方程方法 32
3.1 方法簡介 32
3.2 一維的MMPDE方法 33
3.3 其他MMPDE方法 36
3.4 MMPDE方法的數值離散 38
3.5 幾種移動網格方法的比較 40
3.6 Petzold方法 44
3.7 基于等分布原理的二維移動網格方法 47
3.8 二維移動網格偏微分方程方法 53
3.8.1 方法簡介 53
3.8.2 梯度流網格生成方法 54
3.9 一個簡單有效的網格生成方法 59
3.10 無插值移動網格方法小結 62
第4章 基于離散插值的移動網格方法.63
4.1 雙曲守恒律問題的移動網格方法 63
4.1.1 一維的移動網格方法 63
4.1.2 二維的移動網格方法 71
4.1.3 守恒型插值移動網格方法程序代碼 77
4.2 對流占優問題的移動網格方法 79
4.3 哈密頓–雅可比方程 83
4.3.1 求解哈密頓–雅可比方程的移動網格方法 84
4.3.2 網格重分布與插值 86
4.3.3 幾個哈密頓–雅可比問題算例 87
4.4 二維不可壓Boussinesq方程 89
4.4.1 二維不可壓Boussinesq問題的背景 89
4.4.2 移動網格方法求解Boussinesq問題 90
4.4.3 幾點計算細節的討論 92
4.5 不可壓相場模型的移動網格方法 93
4.6 離散插值的移動網格方法小結 98
第5章 變分方法生成網格 100
5.1 基于各向同性和等分布的變分方法 100
5.2 形變的方法產生移動網格 106
5.3 基于幾何守恒律的移動網格方法 109
5.4 Brackbill方法 112
5.5 變分方法移動網格生成小結 116
第6章 移動有限元方法 118
6.1 方法簡介 118
6.2 方法的具體步驟 120
6.2.1 給出邏輯區域上的網格——邏輯網格 120
6.2.2 控制函數 121
6.2.3 初值的物理網格 123
6.2.4 構造網格的移動向量場 124
6.2.5 函數在新網格上的插值 126
6.3 二維帶邊界的移動網格方法 128
6.3.1 什么是*好的網格？ 128
6.3.2 化歸為優化問題 129
6.3.3 優化問題的離散與求解 131
6.3.4 構造邏輯網格 133
6.3.5 幾點技術細節 134
6.3.6 邊界作為一維問題的處理方法 136
6.3.7 三維的情形 137
6.4 再論網格間插值 138
6.4.1 不可壓流體的情形 138
6.4.2 守恒型插值 139
6.5 關于控制函數 141
6.6 移動有限元方法小結142
第7章 移動網格方法的理論研究 143
7.1 Shishkin網格 143
7.2 自適應網格半離散分析 147
7.2.1 正規區域的誤差 152
7.2.2 過渡區域的誤差 155
7.2.3 邊界層內的誤差 158
7.3 自適應網格全離散分析 160
7.3.1 一些有用的引理 161
7.3.2 一階誤差估計 162
7.4 其他理論進展 165
7.4.1 守恒型方程的移動網格方法 165
7.4.2 拋物型方程的移動網格方法 166
第8章 移動網格方法的廣泛應用 167
8.1 大氣和海洋模擬 168
8.2 計算宇宙學 170
8.3 數值相對論 173
8.4 化學反應和燃燒問題 174
參考文獻 176
索引 190
《信息與計算科學叢書》已出版書目 191
《信息與計算科學叢書》序
前言
第1章 自適應方法 1
1.1 自適應方法綜述 4
1.2 移動網格方法的基本思想 6
1.3 h-方法的基本思想 11
1.3.1 自適應加密的必要性 11
1.3.2 后驗誤差估計 14
1.3.3 h-方法的應用 16
1.4 本書的計劃 18
第2章 等分布原理 20
2.1 等分布原理簡介 20
2.2 等分布原理的應用 23
2.3 等分布原理小結 31
第3章 移動網格偏微分方程方法 32
3.1 方法簡介 32
3.2 一維的MMPDE方法 33
3.3 其他MMPDE方法 36
3.4 MMPDE方法的數值離散 38
3.5 幾種移動網格方法的比較 40
3.6 Petzold方法 44
3.7 基于等分布原理的二維移動網格方法 47
3.8 二維移動網格偏微分方程方法 53
3.8.1 方法簡介 53
3.8.2 梯度流網格生成方法 54
3.9 一個簡單有效的網格生成方法 59
3.10 無插值移動網格方法小結 62
第4章 基于離散插值的移動網格方法.63
4.1 雙曲守恒律問題的移動網格方法 63
4.1.1 一維的移動網格方法 63
4.1.2 二維的移動網格方法 71
4.1.3 守恒型插值移動網格方法程序代碼 77
4.2 對流占優問題的移動網格方法 79
4.3 哈密頓–雅可比方程 83
4.3.1 求解哈密頓–雅可比方程的移動網格方法 84
4.3.2 網格重分布與插值 86
4.3.3 幾個哈密頓–雅可比問題算例 87
4.4 二維不可壓Boussinesq方程 89
4.4.1 二維不可壓Boussinesq問題的背景 89
4.4.2 移動網格方法求解Boussinesq問題 90
4.4.3 幾點計算細節的討論 92
4.5 不可壓相場模型的移動網格方法 93
4.6 離散插值的移動網格方法小結 98
第5章 變分方法生成網格 100
5.1 基于各向同性和等分布的變分方法 100
5.2 形變的方法產生移動網格 106
5.3 基于幾何守恒律的移動網格方法 109
5.4 Brackbill方法 112
5.5 變分方法移動網格生成小結 116
第6章 移動有限元方法 118
6.1 方法簡介 118
6.2 方法的具體步驟 120
6.2.1 給出邏輯區域上的網格——邏輯網格 120
6.2.2 控制函數 121
6.2.3 初值的物理網格 123
6.2.4 構造網格的移動向量場 124
6.2.5 函數在新網格上的插值 126
6.3 二維帶邊界的移動網格方法 128
6.3.1 什么是*好的網格？ 128
6.3.2 化歸為優化問題 129
6.3.3 優化問題的離散與求解 131
6.3.4 構造邏輯網格 133
6.3.5 幾點技術細節 134
6.3.6 邊界作為一維問題的處理方法 136
6.3.7 三維的情形 137
6.4 再論網格間插值 138
6.4.1 不可壓流體的情形 138
6.4.2 守恒型插值 139
6.5 關于控制函數 141
6.6 移動有限元方法小結142
第7章 移動網格方法的理論研究 143
7.1 Shishkin網格 143
7.2 自適應網格半離散分析 147
7.2.1 正規區域的誤差 152
7.2.2 過渡區域的誤差 155
7.2.3 邊界層內的誤差 158
7.3 自適應網格全離散分析 160
7.3.1 一些有用的引理 161
7.3.2 一階誤差估計 162
7.4 其他理論進展 165
7.4.1 守恒型方程的移動網格方法 165
7.4.2 拋物型方程的移動網格方法 166
第8章 移動網格方法的廣泛應用 167
8.1 大氣和海洋模擬 168
8.2 計算宇宙學 170
8.3 數值相對論 173
8.4 化學反應和燃燒問題 174
參考文獻 176
索引 190
《信息與計算科學叢書》已出版書目 191
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偏微分方程的移動網格方法 節選
第1章自適應方法 18世紀的拉普拉斯是一位法國的機械決定論者，被稱為法國的“牛頓”，他把牛頓的質點運動確定論擴展到了無窮質點系統的確定論.拉普拉斯在《概率論的哲學試驗》著作中寫道：“我們可以把宇宙現在的狀態看作是它歷史的果和未來的因.如果存在這么一個智者，它在某一時刻，能夠獲知驅動這個自然運動的所有的力，以及組成這個世界的所有物體的位置，并且這個智者有足夠強大的能力，可以把這些數據進行分析，那么宇宙之中從*宏大的天體到*渺小的原子都將包含在一個運動方程之中；對這個智者而言，未來將無一不確定，恰如歷史一樣，在它眼前一覽無遺.” 拉普拉斯的這段名言，在科學和哲學界引起了軒然大波，余波至今未消.拉普拉斯這里所說的“智者”便是后人所稱的“拉普拉斯妖”（Laplace’s demon).事實上，拉普拉斯希望找到一個獨立的公式，把宇宙的萬物運動描述清楚.他提到：公式中要包含力、位置和原子狀態等的描述.這樣，宇宙的前因后果都確定了，也都能回溯過去和預測未來了.直到現在，人們還在不斷完善公式，發展探測工具，獲取高分辨率的資料，努力實現拉普拉斯的理想目標. 實際上，在自然科學與工程技術中，很多運動發展過程與平衡現象會遵循一定的規律.這些規律的定量表述一般地呈現為含有未知函數及其導數的方程.我們將只含有未知多元函數及其偏導數的方程，稱為偏微分方程，初始條件和邊界條件稱為定解條件;而偏微分方程和定解條件作為一個整體，稱為定解問題.我們居住的地球，表面上空被一厚度十幾公里到二十多公里的大氣層所環繞.我們每天感受到的陰晴雨霜、冷暖風雪天氣就發生在這十幾到二十幾公里厚的大氣層里.大氣環繞著地球每天都在運動變化，它遵循牛頓運動定理、質量守恒定理、大氣狀態方程、熱力學定理和水汽守恒定理.數值天氣預報，就是將描述大氣的流體動力學納維-斯托克斯（Navier-Stokes)方程、熱力學方程組，根據某一時刻觀測到的大氣狀態，用數學方法求解，得到未來某一個時間的大氣狀態. 歐拉方程組可以理解為納維-斯托克斯方程的簡化形式.歐拉方程組適用的地方很多，可以描述飛行中的流場變化，比如飛行器在空中速度過快丨馬赫數大于1)的情況下，會使周圍的壓力、空氣密度、溫度等產生不連續分布，即產生了激波.這些都可以通過歐拉方程組描述出來. 廣義相對論是愛因斯坦在1915年提出來描述引力現象的幾何理論，其基本觀點是時空結構取決于物質的運動及分布.愛因斯坦提出的引力場方程，體現了運動的物質及其分布決定周圍的時空性質，對于任意坐標變換，場方程的形式不變.求解愛因斯坦方程是人們了解宇宙運行規律的前提條件，但是愛因斯坦場方程是一個強非線性偏微分方程組，是自然科學中*復雜的偏微分方程之一，因此想要求得其精確解十分困難.盡管如此，仍有相當數量的精確解被求得，但僅有少數具有物理上的直接應用. 1948年，柯朗（Courant)和弗里德里希斯（Friedrichs)合作出版了《超音速流和激波》(Supersonic Flow and Shock Waves)，這是一本經典性的理論著作.這本書問世之后，刻畫激波的守恒律方程為20世紀50年代興起的一個主要研究領域.此類型方程的特征之一就是：即使初始數據是充分光滑的，守恒律的解在有限時刻也可能會發生間斷，形成激波、切向間斷和稀疏波.由這一理論形成的空氣動力學偏微分方程組，成了研究高速飛行器、核武器等的重要工具. 在上述例子中，要想找到描述大氣的流體動力學納維-斯托克斯方程的解，找到描述激波的歐拉方程組的解，找到描述引力現象的愛因斯坦方程的解，或者是描述激波的雙曲型方程的解，大多數情況下是不可能的.換句話說，要把這眾多的數學方程（組）求解出來，給出一個數學公式，是十分困難或幾乎不可能的事情.在這種情況下，很長時間以來，人們只能通過很多簡化，找到有限個解析解，這對復雜問題的理解有很大的局限性. 自從20世紀50年代電子計算機逐漸出現在科學計算中以來，以上問題得到了根本解決.人們開始結合數學和計算機，通過數值計算方法得到滿足精度要求的微分方程近似解.這樣，納維-斯托克斯方程、歐拉方程組、愛因斯坦方程等，都可以得到令人滿意的近似解. 數值計算的基本思路就是用簡單問題近似復雜問題（兩種問題具有相同或非常接近的解)，用有限空間代替無限維空間，用有限過程代替無限過程，用代數方程代替微分方程，用線性問題代替非線性問題.而微分方程的數值方法，無論是常微分方程還是偏微分方程，都是將連續的、無限未知數的問題近似為離散的、有限未知數的問題，并進一步數值求解.經典數值分析通常會關心如下一些問題：相容性、穩定性、收斂性、收斂階、計算量等.相容性是說格式在局部是不是做出了正確的近似，有一定的“精度”；穩定性是說局部的近似誤差會不會隨著計算而積累放大；收斂性是說當離散尺度無窮小的時候數值解是否會趨向于真實解；收斂階則刻畫了收斂的速度，高階的格式可以用較大的離散尺度獲得較好的數值結果.因此，數值方法的*終表現需要在精度、穩定性和計算量之間找到一個平衡. 偏微分方程的數值方法常見的有有限差分方法、有限元方法、有限體積法和譜方法等.本書根據不同的問題，分別采用前三種方法，即有限差分方法、有限元方法和有限體積法. **類方法是有限差分法，主要推導工具是泰勒展開，它是*早用來求解偏微分方程定解問題的數值方法，也是應用*廣泛的方法之一.其基本思想是：**步，對求解區域作網格剖分（二維一般是正方形網格或長方形網格；三維就是立方體或長方體網格)，使得自變量的連續變化區域被有限離散點（網格點）集代替；第二步，將問題中出現的連續變量的函數用定義在網格點上的離散變量代替，通過用網格點上函數的差商代替導數，將含連續變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個未知數的代數方程組.如果差分格式有解，且當網格無限變小時其解收斂于微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解丨數值解).這個方法主要基于泰勒展開，其優勢是簡單易行，容易理解、容易實現，但局限性就是對求解區域的要求相對苛刻，復雜區域的突現變得比較煩瑣. 第二類方法是有限元方法，主要基于變分原理.有限元方法的**步是對整個求解區域進行分解，使每個子區域都成為簡單的部分（比如在平面區域可以是一個個小三角形，這些小三角形內部互不相交，但所有小三角形又充滿了整個給定的區域).這種簡單剖分被稱作有限元，而它形成的數值方法則被稱作有限元方法.有限元方法的第二步就是對求解的偏微分方程采用“廣義函數”，把偏微分方程轉換為在“更弱”的函數空間（通常是分片多項式空間）上成立的積分形式.很多實際問題可以化為數學上的“泛函”，然后要找到*小化泛函，而達到這一目的就需要采用變分方法.有限元的核心思想就是假定未知函數在“更弱”的函數空間具有簡單的表達式，比如在每個單元上都是一階多項式，這樣就會由變分形式推出每個單元上簡單的代數方程組，而代數方程組問題可以交由計算機求解.有限元方法可以達到很高的計算精度，并且可以應對復雜求解區域，因此在科學和工程界非常受歡迎.另外，有限元方法的求解步驟可以系統化、標準化，能夠開發出靈活通用的計算機程序，廣泛應用于很多實際問題. 著名數學家馮康曾用簡單形象的比喻形容有限元方法：分整為零、裁彎取直、以簡馭繁，化難為易.他還形象地總結了有限元方法的巨大作用：求解微分方程的定解問題好像是大海搜針，成功的可能是微乎其微；但有限元離散后，尋求近似解就好像是碗里撈針，顯而易見容易多了. 舉個例子說明有限元計算的重要性.1991年8月23日，在挪威北海“SleipnerA”石油鉆井平臺的*后建造期間，發生了一次災難性的故障.原始船體:塌，造成7億美元的損失和里氏3.0級地震.這個鉆井平臺設計高度是82米，有24個格室，底座建筑面積有16000平方米.斯堪的納維亞獨立研究機構SINTEF主持的調查結論顯示，基礎結構24個格室中的一個格室壁破裂，導致泄漏量超出泵機的處理能力.根據SINTEF的結論，基于線性彈性模型的有限元計算不夠準確，導致剪切應力被低估47%.事故發生之后，更精確的有限元計算結果顯示原始設計將會在62米深度發生故障，與實際發生故障的65米深度基本匹配.也就是說，粗糖的有限元計算是這次災難的罪魁禍首，如有相關的有限元計算結果足夠準確，這個災難將會避免. 第三類方法是有限體積法，也叫控制體積法.有限體積法是在有限差分基礎上發展起來的，同時它又吸收了有限元方法的一些優點.有限體積法易于人們理解和使用，并且可以得到更合理的物理解釋.它*大的意義在于，使用有限體積法得到的離散方程，完美地體現了守恒性.其具體的步驟如下：**，在計算過程當中，將需要計算的區域分割成一連串的具有不重復的控制體積，使得各個得以控制的體積都可以有一個作為代表的節點；第二，通過對未知函數做出時空分片函數假設，在任意的控制體積內對微分方程作積分，并對積分量作合理近似，從而得出離散方程組，其中的未知量是網格點上的因變量.有限體積法獲得的離散方程，物理上表示的是控制容積的通量平衡，方程中各項有明確的物理意義，這也是有限體積法與有限差分法和有限元方法相比更具優勢的地方.有限體積法的解可以達到高精度，且能很好地保持守恒性，因此在很多物理和工程問題計算上非常受歡迎. 1.1自適應方法綜述 在過去的數十年里，盡管計算機的速度和內存都有大幅度提高，但很多實際問題的數值模擬仍需在很多簡化下才可完成.也就是說，現有的計算機能力對付過多的自由度仍然有很多困難，特別是三維空間問題.在這種情形下，自適應算法應運而生，并在實際應用和理論研究上受到了廣泛的重視.如果一個偏微分方程的解有足夠的光滑度，則一致網格（有時也叫均勻網格）就可以給出滿意的解.但是，也有一些很重要的問題，其解的光滑性并非很好，比如說解間斷或解有大梯度情形.局部的奇性會導致求解區域上的網格過細，會造成不必要的計算時間和數據儲存上的浪費. 在數值計算中，自適應網格所起的作用就是：在物理解變化劇烈的區域，通過某些數學方法，讓網格在迭代過程中不斷調節，使得網格點分布與物理解特性相耦合，從而提高解的精度和分辨率.自適應網格希望在物理解變動大的區域自動聚集網格，而在物理解變化平緩區域稀疏網格，這樣可以兼顧計算效率和解的精度. 網格自適應方法主要分為三種類型，分別叫做方法、方法和方法(圖1.1).其中方法是對網格進行自適應的局部加密和稀疏化，這里h代表有限元離散的網格特征長度.也就是說，/i-方法表示網格的大小可以改變丨通過增加或減少網格數量)，但計算方法的格式精度（比如說線性元）保持不變.而^方法是在網格的不同位置根據解的光滑性質采用不同的基函數，p是多項式(polynomial)的縮寫，浐方法表示局部地方不改變網格大小和位置，但通過提高局部的 1.1自適應方法綜述 格式精度，比如說從一次元到二次元或高次元，來提髙數值解的分辨率.方法就是把/I-方法和方法有機地結合起來.簡單地說，在解的光滑度比較髙的地方，可用高階元來逼近，而在光滑度比較低的地方，則通過減少網格大小來提高解的精度.r-方法是進行網格點的重新分布，又叫做移動網格方法，這里的r是重新分布（redistribution)的意思.這個方法的特點是網格點數固定，相鄰點的排列順序不變，但在不同的時間層或迭代層上，格點的位置要根據某些準則來重新分布. 網格自適應方法*根本的目標在于使用*少的計算資源來解決復雜問題，從而可以在現有的硬件資源條件下擴大計算的規模和提高計算的精度. 進一步地，/I-方法的基本想法是在原有網格的基礎上，通過近似解的某種后驗估計和解在局部的誤差表現，在有需要的地方做局部加密和稀疏.這個方法可以對解的誤差加以控制，也就是說，當計算停止時，近似解可以達到所需要的精度.為了能夠使得局部加密方法得到比較好的效果，需要兩個方面的準備工作：一個是非常精細
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