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分數階灰色模型理論及應用/灰色系統叢書 版權信息
- ISBN：9787030731081
- 條形碼：9787030731081 ; 978-7-03-073108-1
- 裝幀：一般膠版紙
- 冊數：暫無
- 重量：暫無
- 所屬分類：>
分數階灰色模型理論及應用/灰色系統叢書 內容簡介
本書重點介紹分數階灰色模型的基本理論和應用，集中反映作者及其團隊多年來在分數階累加灰色模型和分數階導數灰色模型方面的理論及應用方面的研究積累，同時吸收國內外同行相關的近期新研究成果，系統展示分數階灰色模型的前沿發展動態，全書共5章，包括分數階灰色模型研究進展、分數階灰色模型理論基礎、分數階單變量灰色模型、分數階多變量灰色模型、分數階非線性灰色模型等，附錄包含本書中的幾個主要分數階灰色模型用到的Python代碼.書中絕大部分內容為作者及其團隊的研究成果.本書可作為高等學校理、工、農、醫，以及經濟、管理類各專業本科生和研究生教學用書，也可供管理干部、科研人員、工程技術人員、高校教師等參考.
分數階灰色模型理論及應用/灰色系統叢書 目錄
目錄
前言
第1章 分數階灰色模型研究進展 1
1.1 分數階累加灰色模型研究進展 1
1.2 分數階導數灰色模型研究進展 6
1.3 文獻評述 10
第2章 分數階灰色模型理論基礎 12
2.1 灰生成 12
2.1.1 灰生成定義 12
2.1.2 灰生成的矩陣形式 13
2.2 分數階灰生成 15
2.2.1 分數階累加生成 15
2.2.2 Caputo型分數階導數與差分 18
2.3 GM（1，1）模型 20
2.3.1 GM（1，1）模型的定義 20
2.3.2 GM（1，1）模型的矩陣表示 23
2.4 灰色關聯度 27
2.5 緩沖算子 31
2.5.1 弱化算子作用下GM模型參數的矩陣估計形式 42
2.5.2 其他類型緩沖算子與還原誤差研究 47
2.5.3 強化緩沖算子概念 50
2.5.4 強化算子的矩陣形式及其屬性 51
2.5.5 強化算子作用下GM（1，1）模型參數的矩陣估計形式 55
2.5.6 實例分析 57
2.6 累加生成算子凸凹性 58
2.6.1 AGO序列的凸性 58
2.6.2 反向累加生成序列的凸性 60
2.6.3 廣義AGO的凸性 62
2.6.4 實例分析 64
2.7 智能算法簡介 64
2.7.1 鯨魚算法 65
2.7.2 量子粒子群優化算法 66
2.7.3 灰狼優化 68
第3章 分數階單變量灰色模型 73
3.1 分數階累加GM（1，1）模型 73
3.1.1 分數階累加GM（1，1）模型的級比界區 74
3.1.2 分數階累加GM（1，1）模型應用 83
3.2 離散分數階累加灰色模型 86
3.2.1 離散分數階累加M（1，1，D）模型定義 86
3.2.2 分數階累加GM（1，1）與分數階累加離散GM（1，1）誤差分析 88
3.2.3 分數階累加離散灰色模型應用 92
3.2.4 分數階累加GM（1，1）模型與分數階累加離散灰色模型應用比較 95
3.3 分數階導數灰色模型 96
3.3.1 分數階導數灰色模型的建立 96
3.3.2 不同算子下的FGM（q，1）模型 102
3.3.3 初始值變換對模型的影響 111
3.3.4 分數階導數灰色模型的定階方法 116
3.3.5 矩陣分解及模型關系綜述 117
3.4 分數階導數多項式灰色模型 125
3.4.1 分數階導數非線性灰色模型 125
3.4.2 分數階導數多項式灰色模型的建立 126
3.4.3 分數階導數多項式灰色模型的區間估計 127
3.4.4 分數階導數多項式灰色模型應用 128
第4章 分數階多變量灰色模型 132
4.1 GM（1，N）模型 132
4.2 時滯GM（1，N，τ）模型 135
4.3 分數階累加GM（1，N，τ）模型 139
4.3.1 分數階累加GM（1，N，τ）模型的建立 139
4.3.2 非整數時滯值下模型完善 140
4.3.3 模型階數的確定 140
4.4 多變量分數階灰色模型 141
4.4.1 FGM（q，N，τ）模型的建立 142
4.4.2 FGM（q，N，τ）模型的求解 142
4.5 灰色時滯Lotka-Volterra模型 146
4.6 分數階導數灰色Lotka-Volterra模型 150
4.6.1 分數階導數灰色Lotka-Volterra模型的建立 150
4.6.2 Adams-Bashforth-Moulton預估校正算法 152
4.6.3 分數階導數灰色Lotka-Volterra模型的參數優化 154
4.6.4 三種群分數階灰色延遲Lotka-Volterra模型 156
4.7 多變量灰色模型及其應用案例 160
4.7.1 基于FGM（q，N，τ）模型油價與匯率的實證分析 160
4.7.2 灰色時滯Lotka-Volterra模型的應用 164
4.7.3 第三方互聯網在線支付與網上銀行的直接灰色Lotka-Volterra模型 168
4.7.4 三種群分數階灰色延遲Lotka-Volterra模型應用 183
第5章 分數階非線性灰色模型 191
5.1 基于灰色作用量優化的GM（1，1|sin）動態預測模型 191
5.1.1 GM（1，1|sin）優化模型的建立 191
5.1.2 GM（1，1|sin）模型的引理 197
5.1.3 GM（1，1|sin）動態預測模型應用 198
5.2 波動型灰色GM（1，1|tan（k.τ）p，sin（k.τ）p） 模型 200
5.3 泰勒逼近的非線性FGM（q，1）模型 204
5.4 分數階導數灰色Bernoulli模型 205
5.4.1 分數階導數灰色Bernoulli模型的建立 205
5.4.2 分數階灰色Bernoulli模型解的性質 207
5.4.3 分數階導數灰色Bernoulli模型應用 208
5.4.4 時間序列分解算法 208
5.4.5 人工智能模型 210
5.4.6 清潔能源的長期記憶性分析 212
5.4.7 清潔能源產量建模過程 212
5.4.8 各模型的擬合效果 215
5.4.9 各模型的預測效果 219
5.5 分形導數分數階灰色Riccati模型 220
5.5.1 分形導數分數階灰色Riccati模型的建立 220
5.5.2 預測誤差與還原誤差的關系 228
5.5.3 基于QPSO的FDFGRM模型參數研究的多目標優化 230
5.5.4 FDFGRM的建模過程及偽代碼 232
5.5.5 FDFGRM的數值模擬與應用 232
參考文獻 244
附錄 書中用到的部分Python代碼 264
附錄1 分數階導數灰色Bernoulli模型 264
附錄2 分形導數分數階灰色模型 266
附錄3 兩種群分數階Lotka-Volterra模型 269
附錄4 三種群時滯分數階Lotka-Volterra模型 272
附錄5 分數階導數灰色模型 275
彩圖
前言
第1章 分數階灰色模型研究進展 1
1.1 分數階累加灰色模型研究進展 1
1.2 分數階導數灰色模型研究進展 6
1.3 文獻評述 10
第2章 分數階灰色模型理論基礎 12
2.1 灰生成 12
2.1.1 灰生成定義 12
2.1.2 灰生成的矩陣形式 13
2.2 分數階灰生成 15
2.2.1 分數階累加生成 15
2.2.2 Caputo型分數階導數與差分 18
2.3 GM（1，1）模型 20
2.3.1 GM（1，1）模型的定義 20
2.3.2 GM（1，1）模型的矩陣表示 23
2.4 灰色關聯度 27
2.5 緩沖算子 31
2.5.1 弱化算子作用下GM模型參數的矩陣估計形式 42
2.5.2 其他類型緩沖算子與還原誤差研究 47
2.5.3 強化緩沖算子概念 50
2.5.4 強化算子的矩陣形式及其屬性 51
2.5.5 強化算子作用下GM（1，1）模型參數的矩陣估計形式 55
2.5.6 實例分析 57
2.6 累加生成算子凸凹性 58
2.6.1 AGO序列的凸性 58
2.6.2 反向累加生成序列的凸性 60
2.6.3 廣義AGO的凸性 62
2.6.4 實例分析 64
2.7 智能算法簡介 64
2.7.1 鯨魚算法 65
2.7.2 量子粒子群優化算法 66
2.7.3 灰狼優化 68
第3章 分數階單變量灰色模型 73
3.1 分數階累加GM（1，1）模型 73
3.1.1 分數階累加GM（1，1）模型的級比界區 74
3.1.2 分數階累加GM（1，1）模型應用 83
3.2 離散分數階累加灰色模型 86
3.2.1 離散分數階累加M（1，1，D）模型定義 86
3.2.2 分數階累加GM（1，1）與分數階累加離散GM（1，1）誤差分析 88
3.2.3 分數階累加離散灰色模型應用 92
3.2.4 分數階累加GM（1，1）模型與分數階累加離散灰色模型應用比較 95
3.3 分數階導數灰色模型 96
3.3.1 分數階導數灰色模型的建立 96
3.3.2 不同算子下的FGM（q，1）模型 102
3.3.3 初始值變換對模型的影響 111
3.3.4 分數階導數灰色模型的定階方法 116
3.3.5 矩陣分解及模型關系綜述 117
3.4 分數階導數多項式灰色模型 125
3.4.1 分數階導數非線性灰色模型 125
3.4.2 分數階導數多項式灰色模型的建立 126
3.4.3 分數階導數多項式灰色模型的區間估計 127
3.4.4 分數階導數多項式灰色模型應用 128
第4章 分數階多變量灰色模型 132
4.1 GM（1，N）模型 132
4.2 時滯GM（1，N，τ）模型 135
4.3 分數階累加GM（1，N，τ）模型 139
4.3.1 分數階累加GM（1，N，τ）模型的建立 139
4.3.2 非整數時滯值下模型完善 140
4.3.3 模型階數的確定 140
4.4 多變量分數階灰色模型 141
4.4.1 FGM（q，N，τ）模型的建立 142
4.4.2 FGM（q，N，τ）模型的求解 142
4.5 灰色時滯Lotka-Volterra模型 146
4.6 分數階導數灰色Lotka-Volterra模型 150
4.6.1 分數階導數灰色Lotka-Volterra模型的建立 150
4.6.2 Adams-Bashforth-Moulton預估校正算法 152
4.6.3 分數階導數灰色Lotka-Volterra模型的參數優化 154
4.6.4 三種群分數階灰色延遲Lotka-Volterra模型 156
4.7 多變量灰色模型及其應用案例 160
4.7.1 基于FGM（q，N，τ）模型油價與匯率的實證分析 160
4.7.2 灰色時滯Lotka-Volterra模型的應用 164
4.7.3 第三方互聯網在線支付與網上銀行的直接灰色Lotka-Volterra模型 168
4.7.4 三種群分數階灰色延遲Lotka-Volterra模型應用 183
第5章 分數階非線性灰色模型 191
5.1 基于灰色作用量優化的GM（1，1|sin）動態預測模型 191
5.1.1 GM（1，1|sin）優化模型的建立 191
5.1.2 GM（1，1|sin）模型的引理 197
5.1.3 GM（1，1|sin）動態預測模型應用 198
5.2 波動型灰色GM（1，1|tan（k.τ）p，sin（k.τ）p） 模型 200
5.3 泰勒逼近的非線性FGM（q，1）模型 204
5.4 分數階導數灰色Bernoulli模型 205
5.4.1 分數階導數灰色Bernoulli模型的建立 205
5.4.2 分數階灰色Bernoulli模型解的性質 207
5.4.3 分數階導數灰色Bernoulli模型應用 208
5.4.4 時間序列分解算法 208
5.4.5 人工智能模型 210
5.4.6 清潔能源的長期記憶性分析 212
5.4.7 清潔能源產量建模過程 212
5.4.8 各模型的擬合效果 215
5.4.9 各模型的預測效果 219
5.5 分形導數分數階灰色Riccati模型 220
5.5.1 分形導數分數階灰色Riccati模型的建立 220
5.5.2 預測誤差與還原誤差的關系 228
5.5.3 基于QPSO的FDFGRM模型參數研究的多目標優化 230
5.5.4 FDFGRM的建模過程及偽代碼 232
5.5.5 FDFGRM的數值模擬與應用 232
參考文獻 244
附錄 書中用到的部分Python代碼 264
附錄1 分數階導數灰色Bernoulli模型 264
附錄2 分形導數分數階灰色模型 266
附錄3 兩種群分數階Lotka-Volterra模型 269
附錄4 三種群時滯分數階Lotka-Volterra模型 272
附錄5 分數階導數灰色模型 275
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分數階灰色模型理論及應用/灰色系統叢書 節選
第1章分數階灰色模型研究進展 灰色系統理論是華中科技大學鄧聚龍教授于1982年創立的新興學科。2019年9月7日，德國總理默克爾女士訪問華中科技大學，她在演講中專門提到中國原創的灰色系統理論，稱贊創始人鄧聚龍教授和主要傳播者劉思峰教授的工作“深刻地影響著世界”。 灰色模型是灰色系統理論的重要組成部分，是灰預測的核心成分。1984年鄧教授在他提出的灰色預測思想基礎上建立了**個灰色模型：GM（1，1）模型。該模型與一般的常用統計預測模型不一樣，常用的統計預測模型，例如經驗模型、半參數型號、混合模型，以及*新的機器學習模型，通常需要大量的樣本數據來做出可信度較高的預測，但灰色預測模型的思想是建立在小樣本、信息不完全的基礎上的。它通過對非負原始數據序列進行一次累加生成，使之成為單調增長序列，進而模仿能量積累過程，建立一種具有部分差分、部分微分性質的預測模型。鄧教授早期的研究報告顯示GM（1，1）模型僅用4個數據便可進行可接受的預測。GM（1，1）模型中**個“1”表示一階微分方程，第二個“1”表示模型中的僅有一個變量。該模型由于建模過程簡單，求解方便，廣泛應用于各種應用領域，例如農產品、能源營銷、能源經濟、環境問題、交通流、山體滑坡等預測。*近的實證研究還表明，灰色預測模型在時間序列預測中表現出來的穩定性與可靠性等性能甚至比機器學習模型更優。 1.1分數階累加灰色模型研究進展 分數階灰色模型分為分數階累加灰色模型和分數階導數灰色模型。我們先介紹分數階累加灰色模型的研究進展。 累加運算是灰色模型*重要的運算。*常用的累加稱為一階累加生成算子（Accumulative Generator Operator，AGO）。通過對原始序列進行累加，一階累加生成序列往往遵循擬指數規律，減少了原始數據的隨機性，提高了建模精度。然而，整數階累加只是分數階累加生成算子（Fractional Accumulative Generator Operator，FAGO）的一個特例。吳利豐教授指出了這個問題，并在2013年首次將分數階累加引入到灰色模型，建立分數階累加灰色模型他通過數學證明和全面的數值研究表明分數階累加可以非常有效地減少傳統灰色模型的誤差，并證明分數累加生成算子可以體現新信息優先的特點。 吳利豐教授提出的分數階累加灰色模型如下：稱少）為原始序列的P（0 其中 在此基礎上建立的灰色模型稱為分數階累加灰色模型。 吳利豐教授提出的阻尼（Damping）分數階累加生成算子如下：稱為原始序列的阻尼分數階累加生成序列 其中。當阻尼累加參數為1時，等效于傳統的1-AGO。的計算過程可以轉化為矩陣形式：寫出矩陣形式為 作者認為C-DAGO是傳統1-AGO的優化形式。對于累加的計算過程，對所有可用數據賦予相同的權重是不合理的，因此設置不同的權重來區分舊數據和新數據的影響。基于新信息優先的原則，近期數據比歷史數據具有更大的權重。那么，新生成的序列會更符合指數增長的趨勢。其累減生成序列可寫為 吳利豐教授又提出的分數階Hausdorff灰色模型如下：稱為原始序列的分數階Hausdorff累加生成序列 其中，在此基礎上構建一致分數階累加生成灰色模型 馬新提出的一致分數階累加生成灰色模型如下：稱為原始序列的一致分數階累加生成序列 分數階累加灰色模型大多是單變量模型，只能反映序列對時間的響應，沒有考慮外部因素的影響。2019年，馬新提出了帶卷積積分的分數階累加多變量灰色模型（FGMC）。該模型可以看作是帶卷積積分的多變量灰色模型（GMC）的一般形式。具有卷積積分的灰色模型可以直接轉換為許多現有的單變量灰色模型，也是一種構建高效灰色模型的新方法。與具有卷積積分的灰色模型共享相似的公式，相應的分數階灰色模型實際上是一個更通用的模型，它可以通過類似的方式輕松轉換為其他現有的分數階灰色模型。 新信息優先是預測學中的一個重要原則，該原則認為新的信息相對舊的信息對于預測建模具有更高參考價值，然而經典GM（1，1）模型并沒有強調新信息優先原則。學者們研究發現，通過對模型累加生成方式做適當改進，可以體現新信息優先，比如劉思峰教授提出的緩沖算子、黨耀國教授及其他學者提出的改進緩沖算子，它們的構造形式都直觀形象地體現了新信息優先原則，但由于上述緩沖算子設計中的權重選取都具有一定主觀性，因此它們的使用都伴有一定局限性。吳利豐教授將GM（1，1）模型中一次累加生成拓展為分數階累加生成，提出分數階累加GM（1，1）模型，并認為分數階累加生成體現新信息優先原M。肖新平教授認為分數階累加生成矩陣可看作一種特殊緩沖算子，是廣義累加生成的一種特例。我們將分數階累加生成視為一種特殊數據變換，并證明FAGM（1，1）模型能夠突破GM（1，1）建模級比界區限制，并提出了分數階累加灰色模型的優化定階方法。 上面介紹的灰色模型與分數階思想的結合只停留在分數階累加生成上，模型中微分方程仍是一階微分方程而不是分數階導數微分方程。在實際背景中，雖然FAGM（1，1）模型相比GM（1，1）模型更具有建模優勢，可以體現信息優先原則，而這種結合的不徹底，使得模型的預測效果仍具有一定改善空間。 在此基礎上，學者們建立了 （1）單變量分數階累加灰色模型 （2）多變量分數階累加灰色模型 （3）分數階累加Lotka-Volterra模型 我們結合環境庫茲涅茨曲線假設和微分信息原理，提出了一種新的分數階灰色Riccati模型（FGRM（1，1）尸氣利用*小二乘參數估計和數學分析方法得到模型參數和離散響應函數，引入并設計了裸骨焰火算法得到*優分數階。其方程為 曾亮為了反映能耗系統的時滯特性，準確把握能耗系統的發展趨勢，在分數階灰色幕模型的基礎上，考慮數據時滯特性，提出了一種新的分數階累加非線性時滯灰色模型，其表達式為 劉重提出了一種新的帶時間幕項的分數階灰色多項式預測模型FPGM（l，l，ta）。該模型結合時間冪項和分數階累加對灰色多項式模型進行優化，然后應用量子遺傳算法確定模型參數。特別是通過調整系統系數，可以將所提出的模型轉換為現有的模型。其模型表達式為 胡云提出了一種考慮時滯效應的分數階離散灰色天然氣消費預測模型，該模型比相似模型具有更一般的形式化、無偏性和更高的靈活性。其方程形式為 馬新首先證明了已有的分數階多元灰色卷積模型是一個有偏模型，然后提出了一種基于離散建模技術的分數階離散多元灰色模型，通過數學分析和隨機檢驗證明了該模型的無偏性。其方程表達式為 以上模型均為分數階累加灰色模型，充分考慮了預測模型的新信息優先原則，但是仍然是1階導數，不能體現系統的記憶特征，不能使模型具有更好的自適應特征，故關于分數階導數灰色模型的研究取得了一定進展。 1.2分數階導數灰色模型研究進展 將整數階導數推廣到分數階導數的思想*早可追溯17世紀萊布尼茨與洛必達的一次通信。自1974年**部關于分數階微積分（Fractional Calculus）的專著出版以來，分數階模型得到迅猛發展。分數階微分方程是分數階模型的核心，由于它具有良好的自記憶性，目前已被廣泛地應用于化學加工系統、硬盤驅動器設計、圖像去噪等實際問題中。對于分數階微分方程的解析求解，雖然目前缺乏合理有效方法。但由于微分方程可以理解為差分方程組的極限形式，分數階微分方程也如是，將分數階微分方程轉換為差分方程，可求得方程數值解。隨著計算機技術的發展，分數階微分方程的數值解法的提出，學者們在實際問題中使用分數階模型成為可能。 我們首先建立了單變量分數階累加與分數階導數相結合的分數階導數灰色模型FGM（g，l），其模型形式為 其中a是分數階累加階數，q是分數階導數階數。我們通過*小二乘法完成方程參數估計，利用有限差分法完成方程求解，基于粒子群算法完成微分方程階數和累加生成次數優化；結合參數估計矩陣分解，討論了GM（1，1），FAGM（1，1），FAGM（1，1，D）與FGM（g，1）模型的衍生關系。此類分數階導數灰色模型沒有指明分數階導數的類型，實際上，分數階導數有許多不同的定義形式，不同的分數階導數類型與灰色系統相結合會有不同的時間響應式，對建模效果有較大影響，因此，學者們進一步研究了在某種特定分數階導數條件下的分數階灰色模型。 Caputo型分數階導數在實際問題中有廣泛的應用，Caputo型分數階導數的核函數可以是不同的函數類型。亢玉曉分別選擇弱奇異的冪函數核和非奇異指數函數核的Caputo型分數階導數，建立灰色預測模型CFEGM（q，l）和EFGM（q，l）。 （1）具有弱奇異性的以冪函數為核的Caputo型分數階導數的定義為 在此基礎上建立的分數階灰色模型記為CFEGM（q，1），其表達式為
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